Contoh Soal Dan Pembahasan Perihal Differensial (Turunan)
Adik-adik, hari ini kita akan mencar ilmu perihal differensial atau sering kita kenal dengan istilah turunan... Mari kita mulai...
1. Diketahui
, nilai dari f’(5) yaitu ...
a. 6
b. 10
c. 14
d. 17
e. 20
PEMBAHASAN:
f’(x) = 2x + 4
f’(5) = 2(5) + 4
= 14
JAWABAN: C
2. Turunan pertama dari
yaitu ...
PEMBAHASAN:
JAWABAN: D
3. Diketahui
dan f’ yaitu turunan pertama dari f. Nilai dari f’(1) = ...
a. 20
b. 21
c. 23
d. 23
e. 26
PEMBAHASAN:
= 24 – 6 + 6 – 1
= 23
JAWABAN: C
4. Diketahui
dan f’ yaitu turunan pertama f. Nilai f’(1) yaitu ...
a. 3
b. 8
c. 13
d. 16
e. 21
PEMBAHASAN:
= 3 – 20 + 25
= 8
JAWABAN: B
5. Diketahui
. Jika f’ yaitu turunan pertama dari f, maka nilai f’(x) = ...
PEMBAHASAN:
Kita gunakan rumus ini ya:
JAWABAN: D
6. Jika
dengan f’ yaitu turunan pertama f, maka nilai f’(2) yaitu ...
a. 5
b. 20
c. 30
d. 40
e. 50
PEMBAHASAN:
Kita gunakan rumus ini ya:
= 20.1
= 20
JAWABAN: B
7. Jika f(x) = sin x cos 3x maka f’(π/6) = ...
PEMBAHASAN:
f(x) = sin x cos 3x
= ½ (sin 4x + sin (-2x))
= ½ sin 4x – ½ sin 2x
f’(x) = ½ . 4 cos 4x – ½ . 2 cos 2x
= 2cos 4x – cos 2x
Maka:
f’(π/6) = 2cos 4(π/6) – cos 2(π/6)
= 2.(- ½ ) – ½
= -1 – ½
= -1 1/2
JAWABAN: C
8. Jika
, sin x ≠ 0 dan f’ yaitu turunan f, maka f’(π/2) = ...
a. -2
b. -1
c. 0
d. 1
e. 2
PEMBAHASAN:
Misalkan: u = sin x + cos x --> u’ = cos x – sin x
v = sin x --> v’ = cos x
Ingat rumus ini ya:
Sehingga:
JAWABAN: B
9. Nilai maksimum dari fungsi
yaitu ...
a. 8
b. 12
c. 16
d. 24
e. 32
PEMBAHASAN:
Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi diperoleh jikalau f’(x) = 0
Maka:
Jadi, nilai maksimumnya yaitu 12
JAWABAN: B
10. Turunan pertama dari fungsi
yaitu f’(x) = ...
PEMBAHASAN:
Misal: u = 1 + cos x --> u’ = – sin x
v = sin x --> v’ = cos x
Ingat rumus ini ya:
Sehingga:
JAWABAN: E
11. Turunan fungsi
yaitu ...
PEMBAHASAN:
atau 
Maka:
JAWABAN: B
12. Diketahui fungsi
dan turunan pertama dari f yaitu f’. Maka f’(x) = ...
a. 4 sin (2x + 3) cos (2x + 3)
b. -2 sin (2x + 3) cos (2x + 3)
c. 2 sin (2x + 3) cos (2x + 3)
d. -4 sin (2x + 3) cos (2x + 3)
e. sin (2x + 3) cos (2x + 3)
PEMBAHASAN:
f’(x) = 2 sin (2x + 3) . 2. cos (2x + 3)
= 4sin(2x + 3)cos(2x + 3)
JAWABAN: A
13. Grafik fungsi
turun dalam interval ...
a. x < -3 atau x > 1
b. x < -1 atau x > 3
c. x < -3 atau x > -1
d. -1 < x < 3
e. 1 < x < 3
PEMBAHASAN:
Syarat grafik f(x) turun yaitu jikalau nilai f’(x) < 0, maka:
HP = -1 < x < 3
JAWABAN: D
14. Turunan pertama fungsi
yaitu f’(x). Nilai f’(1) = ...
a. 18
b. 24
c. 54
d. 162
e. 216
PEMBAHASAN:
Misalkan:
v = 2x – 1 --> v’ = 2
Kita pakai rumus yang ini: f(x) = u.v --> f’(x) = u’.v + u.v’
Sehingga:
= 18 . 9 . 1 + 27 . 2
= 162 + 54
= 216
JAWABAN: E
15. Turunan pertama dari y = sin 1/x yaitu ...
a. cos x
b. sin 1/x
c. cos 1/x
PEMBAHASAN:
JAWABAN: E
dalam ribuan rupiah. Agar biaya minimum maka harus diproduksi barang sebanyak ...
a. 30
b. 45
c. 60
d. 90
e. 135
PEMBAHASAN:
Agar biaya minimum maka B’(x) = 0
B’(x) = 4x – 180
B’(x) = 0
4x – 180 = 0
4x = 180
x = 45
Jadi, biar biaya minimum maka harus diproduksi barang sebanyak 45
JAWABAN: B
17. Suatu proyek akan diselesaikan dalam x hari. Jika biaya proyek per hari yaitu
dalam ribuan rupiah maka biaya proyek minimum dalam x hari sama dengan ...
a. Rp550.000,00
b. Rp800.000,00
c. Rp880.000,00
d. Rp900.000,00
e. Rp950.000,00
PEMBAHASAN:
atau 
Biaya minimum diperoleh ketika B’(x) = 0
B’(x) = 4x – 40
B’(x) = 0
4x – 40 = 0
4x = 40
x = 10
Subtitusikan x = 10 dalam persamaan
Jadi, biaya proyek minimum dalam x hari sama dengan Rp800.000,00
JAWABAN: B
18. Biaya produksi kain batik sepanjang x meter dinyatakan dengan fungsi
ribu rupiah. Jika semua kain batik tersebut dijual dengan harga 
ribu rupiah maka panjang kain batik yang diproduksi biar diperoleh keuntungan maksimum yaitu ...
a. 15 m
b. 25 m
c. 30 m
d. 50 m
e. 60 m
PEMBAHASAN:
Laba = harga jual – harga produksi
Laba maksimum diperoleh ketika L’ = 0, maka:
L’ = 60 – 2x
L’ = 0
60 – 2x = 0
x = 30
Jadi, panjang kain batik yang diproduksi biar diperoleh keuntungan maksimum yaitu 30 m
JAWABAN: C
19. Sebuah roda sehabis t detik berputar sebesar ѳ radian sehingga
maka kecepatan sudut pada detik ke-3 yaitu ...
a. 12 rad/ detik
b. 24 rad/ detik
c. 28 rad/ detik
d. 56 rad/ detik
e. 88 rad/ detik
PEMBAHASAN:
Kecepatan sudut = dѳ/dt = 128 – 24t
Kecepatan sudut pada detik ke-3 atau t = 3
128 – 24(3) = 128 – 72 = 56 rad/detik
JAWABAN: D
20. Rusuk suatu kubus bertambah panjang dengan laju 7 cm per detik. Laju bertambahnya volume pada dikala rusuk panjangnya 15 cm yaitu ...
a. 675 cm2/ detik
b. 1.575 cm2/ detik
c. 3.375 cm2/ detik
d. 4.725 cm2/ detik
e. 23.625 cm2/ detik
PEMBAHASAN:
r = panjang rusuk kubus
V = volume kubus
Laju pertambahan panjang rusuk kubus =
Laju pertambahan volume kubus yaitu dV/dt
dV/dt = dV/ds x ds/dt
= 3r2 x 7
= 3. 152.7
= 4.725 cm2/ detik
JAWABAN: D
21. Grafik fungsi kuadrat
menyinggung garis y = 3x + 4. Nilai b yang memenuhi yaitu ...
a. -4
b. -3
c. 0
d. 3
e. 4
PEMBAHASAN:
Gradien garis singgung grafikadalah f’(x) = 2x + b
Garis singgungnya y = 3x + 4 mempunyai gradien m = 3, maka:
2x + b = 3 ... (i)
Titik singgungnya adalah:
= 3x + 4
x2 + (b - 3)x = 0
x(x + (b – 3)) = 0
x = 0 atau x = b – 3 ... (ii)
Subtitusikan (ii) ke (i):
2(b – 3) + b = 3
2b – 6 + b = 3
3b = 9
b = 3
JAWABAN: D
22. Jumlah dua bilangan positif x dan y yaitu 18. Nilai maksimum x.y yaitu ...
a. 100
b. 81
c. 80
d. 77
e. 72
PEMBAHASAN:
x + y =18 --> x = 18 – y
x.y = (18 – y)y
= 18y – y2
x.y mencapai nilai maksimum jika(x.y)’ = 0
(x.y)’ = 18 – 2y
(x.y)’ = 0
18 – 2y = 0
2y = 18
y = 9
x = 18 – y --> 18 – 9 = 9
Nilai maksimum x.y yaitu 9 . 9 = 81
JAWABAN: B
23. Persamaan garis singgung yang menyinggung kurva
di titik (-1, 0) yaitu ...
a. y = -x + 1
b. y = x + 1
c. y = x – 1
d. y = 6x + 6
e. y = 6x – 6
PEMBAHASAN:
Gradien kurva yaitu 
Menyinggung suatu garis di titik (-1, 0) maka:
y’ = 1 atau m = 1
Maka persamaan garisnya:
y – y1 = m (x – x1)
y - 0 = 1 (x + 1)
y = x + 1
JAWABAN: B
24. Jika garis singgung pada kurva
di titik yang berabsis 1 yaitu y = 10x + 8 maka a = ...
a. 6
b. 7
c. 8
d. 9
e. 10
PEMBAHASAN:
mempunyai gradien (m): y’ = 2x + a
Garis singgungnya mempunyai absis 1, maka:
y’ = 2.1 + a
y’ = 2 + a
Persamaan garis singgungnya yaitu y = 10x + 8, mempunyai gradien (m) = 10
2 + a = 10
a = 8
JAWABAN: C
25. Keliling persegi panjang (2x + 20) dan lebar (8 – x). Agar luas persegi panjang maksimum maka panjangnya ...
a. 10
b. 9
c. 4,5
d. 3,5
e. 3
PEMBAHASAN:
Misalkan panjang persegi panjang = p
Keliling = 2 (p + l)
(2x + 20) = 2(p + (8 – x))
x + 10 = p + (8 – x)
2x + 2 = p
Luas persegi panjang:
L(x) = p.l
= (2x + 2) (8 – x)
Luas akan maksimum ketika L’(x) = 0, maka:
L’(x) = -4x + 14
L’(x) = 0
-4x + 14 = 0
4x = 14
x = 3,5
Maka panjangnya: 2x + 2 = 2(3,2) + 2 = 9
JAWABAN: B
1. Diketahui
, nilai dari f’(5) yaitu ...a. 6
b. 10
c. 14
d. 17
e. 20
PEMBAHASAN:
f’(x) = 2x + 4
f’(5) = 2(5) + 4
= 14
JAWABAN: C
2. Turunan pertama dari
yaitu ...PEMBAHASAN:
JAWABAN: D
3. Diketahui
dan f’ yaitu turunan pertama dari f. Nilai dari f’(1) = ...a. 20
b. 21
c. 23
d. 23
e. 26
PEMBAHASAN:
= 24 – 6 + 6 – 1
= 23
JAWABAN: C
4. Diketahui
dan f’ yaitu turunan pertama f. Nilai f’(1) yaitu ...a. 3
b. 8
c. 13
d. 16
e. 21
PEMBAHASAN:
= 3 – 20 + 25
= 8
JAWABAN: B
5. Diketahui
. Jika f’ yaitu turunan pertama dari f, maka nilai f’(x) = ...PEMBAHASAN:
Kita gunakan rumus ini ya:
JAWABAN: D
6. Jika
dengan f’ yaitu turunan pertama f, maka nilai f’(2) yaitu ...a. 5
b. 20
c. 30
d. 40
e. 50
PEMBAHASAN:
Kita gunakan rumus ini ya:
= 20.1
= 20
JAWABAN: B
7. Jika f(x) = sin x cos 3x maka f’(π/6) = ...
PEMBAHASAN:
f(x) = sin x cos 3x
= ½ (sin 4x + sin (-2x))
= ½ sin 4x – ½ sin 2x
f’(x) = ½ . 4 cos 4x – ½ . 2 cos 2x
= 2cos 4x – cos 2x
Maka:
f’(π/6) = 2cos 4(π/6) – cos 2(π/6)
= 2.(- ½ ) – ½
= -1 – ½
= -1 1/2
JAWABAN: C
8. Jika
, sin x ≠ 0 dan f’ yaitu turunan f, maka f’(π/2) = ...a. -2
b. -1
c. 0
d. 1
e. 2
PEMBAHASAN:
Misalkan: u = sin x + cos x --> u’ = cos x – sin x
v = sin x --> v’ = cos x
Ingat rumus ini ya:
Sehingga:
JAWABAN: B
9. Nilai maksimum dari fungsi
yaitu ...a. 8
b. 12
c. 16
d. 24
e. 32
PEMBAHASAN:
Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi diperoleh jikalau f’(x) = 0
Maka:
Jadi, nilai maksimumnya yaitu 12
JAWABAN: B
10. Turunan pertama dari fungsi
yaitu f’(x) = ...PEMBAHASAN:
Misal: u = 1 + cos x --> u’ = – sin x
v = sin x --> v’ = cos x
Ingat rumus ini ya:
Sehingga:
JAWABAN: E
11. Turunan fungsi
yaitu ...PEMBAHASAN:
atau Maka:
JAWABAN: B
12. Diketahui fungsi
dan turunan pertama dari f yaitu f’. Maka f’(x) = ...a. 4 sin (2x + 3) cos (2x + 3)
b. -2 sin (2x + 3) cos (2x + 3)
c. 2 sin (2x + 3) cos (2x + 3)
d. -4 sin (2x + 3) cos (2x + 3)
e. sin (2x + 3) cos (2x + 3)
PEMBAHASAN:
f’(x) = 2 sin (2x + 3) . 2. cos (2x + 3)
= 4sin(2x + 3)cos(2x + 3)
JAWABAN: A
13. Grafik fungsi
turun dalam interval ...a. x < -3 atau x > 1
b. x < -1 atau x > 3
c. x < -3 atau x > -1
d. -1 < x < 3
e. 1 < x < 3
PEMBAHASAN:
Syarat grafik f(x) turun yaitu jikalau nilai f’(x) < 0, maka:
HP = -1 < x < 3
JAWABAN: D
14. Turunan pertama fungsi
yaitu f’(x). Nilai f’(1) = ...a. 18
b. 24
c. 54
d. 162
e. 216
PEMBAHASAN:
Misalkan:
v = 2x – 1 --> v’ = 2
Kita pakai rumus yang ini: f(x) = u.v --> f’(x) = u’.v + u.v’
Sehingga:
= 18 . 9 . 1 + 27 . 2
= 162 + 54
= 216
JAWABAN: E
15. Turunan pertama dari y = sin 1/x yaitu ...
a. cos x
b. sin 1/x
c. cos 1/x
PEMBAHASAN:
JAWABAN: E
16. Untuk memproduksi suatu barang diharapkan biaya produksi yang dinyatakan dengan fungsi
dalam ribuan rupiah. Agar biaya minimum maka harus diproduksi barang sebanyak ...a. 30
b. 45
c. 60
d. 90
e. 135
PEMBAHASAN:
Agar biaya minimum maka B’(x) = 0
B’(x) = 4x – 180
B’(x) = 0
4x – 180 = 0
4x = 180
x = 45
Jadi, biar biaya minimum maka harus diproduksi barang sebanyak 45
JAWABAN: B
17. Suatu proyek akan diselesaikan dalam x hari. Jika biaya proyek per hari yaitu
dalam ribuan rupiah maka biaya proyek minimum dalam x hari sama dengan ...a. Rp550.000,00
b. Rp800.000,00
c. Rp880.000,00
d. Rp900.000,00
e. Rp950.000,00
PEMBAHASAN:
atau Biaya minimum diperoleh ketika B’(x) = 0
B’(x) = 4x – 40
B’(x) = 0
4x – 40 = 0
4x = 40
x = 10
Subtitusikan x = 10 dalam persamaan
Jadi, biaya proyek minimum dalam x hari sama dengan Rp800.000,00
JAWABAN: B
18. Biaya produksi kain batik sepanjang x meter dinyatakan dengan fungsi
ribu rupiah. Jika semua kain batik tersebut dijual dengan harga ribu rupiah maka panjang kain batik yang diproduksi biar diperoleh keuntungan maksimum yaitu ...a. 15 m
b. 25 m
c. 30 m
d. 50 m
e. 60 m
PEMBAHASAN:
Laba = harga jual – harga produksi
Laba maksimum diperoleh ketika L’ = 0, maka:
L’ = 60 – 2x
L’ = 0
60 – 2x = 0
x = 30
Jadi, panjang kain batik yang diproduksi biar diperoleh keuntungan maksimum yaitu 30 m
JAWABAN: C
19. Sebuah roda sehabis t detik berputar sebesar ѳ radian sehingga
maka kecepatan sudut pada detik ke-3 yaitu ...a. 12 rad/ detik
b. 24 rad/ detik
c. 28 rad/ detik
d. 56 rad/ detik
e. 88 rad/ detik
PEMBAHASAN:
Kecepatan sudut = dѳ/dt = 128 – 24t
Kecepatan sudut pada detik ke-3 atau t = 3
128 – 24(3) = 128 – 72 = 56 rad/detik
JAWABAN: D
20. Rusuk suatu kubus bertambah panjang dengan laju 7 cm per detik. Laju bertambahnya volume pada dikala rusuk panjangnya 15 cm yaitu ...
a. 675 cm2/ detik
b. 1.575 cm2/ detik
c. 3.375 cm2/ detik
d. 4.725 cm2/ detik
e. 23.625 cm2/ detik
PEMBAHASAN:
r = panjang rusuk kubus
V = volume kubus
Laju pertambahan panjang rusuk kubus =
Laju pertambahan volume kubus yaitu dV/dt
dV/dt = dV/ds x ds/dt
= 3r2 x 7
= 3. 152.7
= 4.725 cm2/ detik
JAWABAN: D
21. Grafik fungsi kuadrat
menyinggung garis y = 3x + 4. Nilai b yang memenuhi yaitu ...a. -4
b. -3
c. 0
d. 3
e. 4
PEMBAHASAN:
Gradien garis singgung grafik
adalah f’(x) = 2x + bGaris singgungnya y = 3x + 4 mempunyai gradien m = 3, maka:
2x + b = 3 ... (i)
Titik singgungnya adalah:
= 3x + 4x2 + (b - 3)x = 0
x(x + (b – 3)) = 0
x = 0 atau x = b – 3 ... (ii)
Subtitusikan (ii) ke (i):
2(b – 3) + b = 3
2b – 6 + b = 3
3b = 9
b = 3
JAWABAN: D
22. Jumlah dua bilangan positif x dan y yaitu 18. Nilai maksimum x.y yaitu ...
a. 100
b. 81
c. 80
d. 77
e. 72
PEMBAHASAN:
x + y =18 --> x = 18 – y
x.y = (18 – y)y
= 18y – y2
x.y mencapai nilai maksimum jika(x.y)’ = 0
(x.y)’ = 18 – 2y
(x.y)’ = 0
18 – 2y = 0
2y = 18
y = 9
x = 18 – y --> 18 – 9 = 9
Nilai maksimum x.y yaitu 9 . 9 = 81
JAWABAN: B
23. Persamaan garis singgung yang menyinggung kurva
di titik (-1, 0) yaitu ...a. y = -x + 1
b. y = x + 1
c. y = x – 1
d. y = 6x + 6
e. y = 6x – 6
PEMBAHASAN:
Gradien kurva
yaitu Menyinggung suatu garis di titik (-1, 0) maka:
y’ = 1 atau m = 1
Maka persamaan garisnya:
y – y1 = m (x – x1)
y - 0 = 1 (x + 1)
y = x + 1
JAWABAN: B
24. Jika garis singgung pada kurva
di titik yang berabsis 1 yaitu y = 10x + 8 maka a = ...a. 6
b. 7
c. 8
d. 9
e. 10
PEMBAHASAN:
mempunyai gradien (m): y’ = 2x + aGaris singgungnya mempunyai absis 1, maka:
y’ = 2.1 + a
y’ = 2 + a
Persamaan garis singgungnya yaitu y = 10x + 8, mempunyai gradien (m) = 10
2 + a = 10
a = 8
JAWABAN: C
25. Keliling persegi panjang (2x + 20) dan lebar (8 – x). Agar luas persegi panjang maksimum maka panjangnya ...
a. 10
b. 9
c. 4,5
d. 3,5
e. 3
PEMBAHASAN:
Misalkan panjang persegi panjang = p
Keliling = 2 (p + l)
(2x + 20) = 2(p + (8 – x))
x + 10 = p + (8 – x)
2x + 2 = p
Luas persegi panjang:
L(x) = p.l
= (2x + 2) (8 – x)
Luas akan maksimum ketika L’(x) = 0, maka:
L’(x) = -4x + 14
L’(x) = 0
-4x + 14 = 0
4x = 14
x = 3,5
Maka panjangnya: 2x + 2 = 2(3,2) + 2 = 9
JAWABAN: B
Post a Comment for "Contoh Soal Dan Pembahasan Perihal Differensial (Turunan)"